Comment calculer l’intersection entre deux événements A et B
Comment calculer \( A \cap B \) (intersection de deux événements)
Le calcul de \( P(A \cap B) \), c’est-à-dire la probabilité que les événements \( A \) et \( B \) se produisent simultanément, repose sur la notion d’intersection.
Définition de l’intersection
On appelle \( A \cap B \) l’ensemble des cas où les deux événements \( A \) et \( B \) surviennent ensemble. Par exemple, si \( A \) est l’événement “le résultat est pair” et \( B \) “le résultat est strictement inférieur à 4”, alors \( A \cap B \) décrit “un résultat pair inférieur à 4”.
Formule de calcul de \( P(A \cap B) \)
Pour déterminer \( P(A \cap B) \), on utilise la relation suivante :
\( P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A) \),
où \( P_A(B) \) désigne la probabilité de \( B \) sachant que \( A \) est réalisé, et \( P_B(A) \) la probabilité de \( A \) sachant \( B \).
Interprétation à l’aide d’un arbre pondéré
Lorsqu’un arbre pondéré modélise plusieurs événements, les probabilités conditionnelles apparaissent sur les branches des niveaux supérieurs. Le calcul de \( P(A \cap B) \) correspond alors au produit des probabilités sur le chemin passant successivement par \( A \) puis \( B \).
- Exemple : si \( P(A) = 0{,}5 \) et \( P_A(B) = 0{,}4 \), alors \( P(A \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2 \).
Cas des événements indépendants
Lorsque \( A \) et \( B \) sont indépendants, la réalisation de l’un n’affecte pas celle de l’autre. La formule simplifiée devient :
\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \).
Dans ce cas, \( P_A(B) = P(B) \) et \( P_B(A) = P(A) \).
Récapitulatif des méthodes
| Situation | Formule de \( P(A \cap B) \) |
|---|---|
| Cas général avec probabilité conditionnelle | \( P(A) \times P_A(B) \) ou \( P(B) \times P_B(A) \) |
| Arbre pondéré | Produit des probabilités sur le trajet \( A \to B \) |
| Indépendance entre \( A \) et \( B \) | \( P(A) \times P(B) \) |
Points clés
- \( P(A \cap B) \) désigne la probabilité que \( A \) et \( B \) se produisent simultanément.
- On calcule \( P(A \cap B) \) via la formule avec probabilité conditionnelle.
- Un arbre pondéré facilite ce calcul par multiplication des probabilités sur un chemin donné.
- L’indépendance simplifie la formule à un produit direct des probabilités.
Qu’est-ce que l’intersection \( A \cap B \) en probabilité ?
Il s’agit de l’ensemble des issues appartenant à la fois à \( A \) et à \( B \). Par exemple, obtenir un résultat pair et strictement inférieur à 4.
Comment calculer \( P(A \cap B) \) en utilisant la probabilité conditionnelle ?
On utilise \( P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) \), où \( P_A(B) \) est la probabilité de \( B \) sachant \( A \). Cette formule relie l’intersection à une probabilité conditionnelle.
Comment utiliser un arbre pondéré pour calculer \( P(A \cap B) \) ?
On multiplie les probabilités sur le chemin du premier événement \( A \) au second \( B \). Les branches de l’arbre donnent les probabilités conditionnelles nécessaires au calcul.
Que signifie l’indépendance de deux événements \( A \) et \( B \) pour leur intersection ?
Si \( A \) et \( B \) sont indépendants, alors \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \). La connaissance de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre.
Peut-on calculer \( P(A \cap B) \) sans savoir si \( A \) et \( B \) sont indépendants ?
Oui, via la formule \( P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) \) en utilisant la probabilité conditionnelle. L’indépendance simplifie juste le calcul.