Méthodes pratiques et théoriques pour calculer pi à partir de mesures, séries et fonctions trigonométriques

Comment calculer pi : méthodes pratiques et théoriques

Pi (π) est la constante mathématique représentant le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Il est possible de calculer une approximation de π en mesurant un cercle, ou par diverses méthodes mathématiques plus complexes.

1. Calcul de π à partir des mesures d’un cercle

La méthode la plus intuitive et traditionnelle consiste à mesurer la circonférence et le diamètre d’un cercle.

• Former un cercle précis : Utilisez un compas ou un objet parfaitement rond comme un couvercle. Employez une mine de crayon fine pour tracer le cercle afin de réduire les erreurs lors de la mesure.
• Mesurer la circonférence : Enroulez une ficelle fine autour du cercle en suivant le contour avec soin. Faites un repère sur la ficelle au point où elle fait un tour complet. Mesurez ensuite cette longueur avec une règle.
• Déterminer le diamètre : Mesurez la distance la plus longue passant par le centre du cercle, d’un bord à l’autre.
• Calculer π : Utilisez la formule π = circonférence ÷ diamètre. Le résultat doit être proche de 3,14. Pour améliorer la précision, répétez l’opération avec plusieurs cercles de différentes tailles et faites la moyenne de vos résultats.

2. Calcul de π avec des séries infinies

Certaines séries mathématiques permettent d’approcher π avec une précision croissante selon le nombre de termes calculés.

Série de Leibniz-Grégory

Cette série alterne additions et soustractions de fractions avec numérateur 4 et dénominateurs impairs croissants :

4/1 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + 4/9 – …

Plus le nombre de termes est grand, plus l’approximation de π est précise. Cependant, cette série est lente : 500 000 termes n’apportent que cinq décimales exactes.

Série de Nilakantha

Cette formule utilise des fractions dont le dénominateur est un produit de trois entiers consécutifs. Elle converge plus vite :

• Comporte aussi une alternance d’additions et soustractions, avec le numérateur toujours égal à 4.
• Après environ 10 000 termes, elle donne 11 décimales correctes.

Ces séries sont adaptées pour un calcul informatique, mais difficilement maniables à la main.

3. Méthode de la limite d’une fonction trigonométrique

Une autre approche repose sur la fonction trigonométrique :

Choisir un grand nombre N.

Calculer N × sin(180° ÷ N).

La limite de cette expression quand N tend vers l’infini est π. Plus N est grand, plus l’approximation est précise. La calculatrice doit être réglée en degrés pour que cette méthode marche.

4. Calcul de π via la fonction arcsinus

On peut utiliser la fonction arcsinus pour calculer π. Cette méthode comprend :

• Choisir un nombre entre -1 et 1, car arcsinus n’est défini que dans cet intervalle.
• Appliquer la formule associée, utilisant aussi racine carrée, valeurs absolues et carrés de valeurs.

Les valeurs entrées doivent être en radians. Cette méthode est plus avancée et nécessite une bonne maîtrise des fonctions trigonométriques.

5. Informations complémentaires sur π

• π est un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu’il possède une infinité de décimales sans répétition.
• On ne peut jamais connaître toutes ses décimales.
• En pratique, la précision de π dépend de l’usage : les astrophysiciens utilisent environ 39 décimales.
• Pour la plupart des besoins courants, une valeur approchée à 3,14 suffit.

Points clés à retenir

• Calculer π par mesure d’un cercle demande précision et répétition pour affiner le résultat.
• Les séries mathématiques fournissent une approximation améliorée mais nécessitent beaucoup de calculs.
• Les méthodes trigonométriques utilisent les limites de fonctions sinusoïdales.
• π est un nombre irrationnel, infini et non périodique, impossible à exprimer exactement.
• La précision voulue dépend de l’application pratique, pas besoin de connaître toutes les décimales.

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Comment calculer π en mesurant un cercle ?

Mesurez la circonférence d’un cercle avec une ficelle. Puis mesurez le diamètre du même cercle. Divisez la circonférence par le diamètre pour obtenir une approximation de π. Répétez avec plusieurs cercles pour plus de précision.

Quelle est la méthode de Leibniz pour calculer π ?

La série de Leibniz alterne additions et soustractions de fractions avec 4 au numérateur et des dénominateurs impairs croissants. C’est simple mais lent: des millions de termes sont nécessaires pour une bonne précision.

Comment la formule de Nilakantha améliore-t-elle le calcul de π ?

La formule de Nilakantha utilise des produits de trois entiers successifs comme dénominateurs et alterne addition et soustraction. Elle converge plus rapidement, donnant plus de décimales avec moins de calculs.

Quel rôle joue la limite d’une fonction dans le calcul de π ?

En choisissant un grand nombre, et en appliquant ce nombre dans une fonction trigonométrique, on obtient une valeur approchée de π grâce à la limite. Plus le nombre est grand, plus l’approximation est exacte.

Comment utilise-t-on la fonction arcsinus pour trouver π ?

On choisit un nombre entre -1 et 1 et on l’entre dans une formule avec la fonction arcsinus. L’utilisation de cette fonction inverse du sinus, en radians, fournit une valeur proche de π.