Comment calculer le PGCD et le PPCM : méthodes, utilisation pour simplifier fractions et notions essentielles

Comment calculer le PGCD et le PPCM

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand diviseur que deux nombres partagent. Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit multiple commun à ces deux nombres. Ces deux notions sont essentielles en mathématiques, notamment pour simplifier des fractions ou résoudre des problèmes d’arithmétique.

1. Calcul du PGCD

Définition

Le PGCD est le plus grand nombre qui divise sans reste deux nombres donnés. Il permet par exemple de simplifier une fraction.

Méthode 1 : Liste des diviseurs

Lister tous les diviseurs de chaque nombre.
Identifier les diviseurs communs.
Choisir le plus grand diviseur commun.

Exemple : Pour 16 et 24, les diviseurs communs sont 1, 2, 4, 8. Le PGCD est donc 8.

Cette méthode fonctionne bien pour des petits nombres mais devient complexe pour des nombres plus grands.

Méthode 2 : Division euclidienne

C’est la méthode générale la plus efficace. On effectue des divisions successives :

Étape	Calcul	Reste
1	125 = 1 × 90 + 35	35
2	90 = 2 × 35 + 20	20
3	35 = 1 × 20 + 15	15
4	20 = 1 × 15 + 5	5
5	15 = 3 × 5 + 0	0

Le dernier reste non nul est 5, donc PGCD(90, 125) = 5.

Important : toujours diviser le nombre précédent par le reste de la division précédente.

Méthode 3 : Soustractions successives

Soustraire le plus petit nombre du plus grand.
Continuer avec ce résultat et le plus petit nombre jusqu’à obtenir 0.
Le dernier résultat non nul est le PGCD.

Exemple : PGCD(15, 21)

21 – 15 = 6
15 – 6 = 9
9 – 6 = 3
6 – 3 = 3
3 – 3 = 0

Le PGCD est 3.

Cette méthode est lente pour des grands nombres, elle est réservée aux petits nombres ou quand elle est demandée.

Méthode 4 : Décomposition en facteurs premiers

On décompose chaque nombre en facteurs premiers. Le PGCD est obtenu en prenant les facteurs communs avec leurs plus petites puissances.

Exemple :

260 = 2² × 5¹ × 13¹
450 = 2¹ × 3² × 5²
Facteurs communs : 2 et 5, avec les plus petites puissances 2¹ et 5¹
PGCD = 2¹ × 5¹ = 10

2. Calcul du PPCM

Définition

Le PPCM est le plus petit nombre divisible par deux nombres donnés. Il sert à travailler avec des multiples.

Exemple simple

Pour 3 et 4 :

Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15…
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20…
Multiples communs : 12, 24, 48…
PPCM = 12

Calcul par décomposition en facteurs premiers

On décompose chaque nombre puis on prend la plus grande puissance de chaque facteur premier, même si un facteur n’apparaît que dans un seul nombre.

Exemple avec 260 et 450 :

260 = 2² × 5¹ × 13¹
450 = 2¹ × 3² × 5²
Prenez 2², 3², 5², 13¹
PPCM = 2² × 3² × 5² × 13 = 11700

3. Usage du PGCD pour simplifier les fractions

Pour simplifier une fraction, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Exemple :

Fraction 260/450
PGCD(260, 450) = 10
Fraction simplifiée : 26/45

4. Concepts complémentaires

Deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD est 1. Cela signifie qu’ils n’ont aucun facteur premier commun.

Par exemple, PGCD(4, 9) = 1, donc 4 et 9 sont premiers entre eux.

Points essentiels

PGCD est le plus grand diviseur commun; PPCM est le plus petit multiple commun.
La division euclidienne est la méthode la plus rapide pour calculer le PGCD.
La décomposition en facteurs premiers permet d’obtenir PGCD et PPCM de manière systématique.
Le PGCD sert à simplifier les fractions.
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est 1.

Quelles sont les méthodes pour calculer le PGCD ?

On peut calculer le PGCD en listant les diviseurs communs, par la division euclidienne, par soustractions successives, ou en décomposant en facteurs premiers. La division euclidienne est la méthode la plus efficace pour les grands nombres.

Comment utiliser la division euclidienne pour trouver le PGCD ?

Écrire la division a = q × b + r avec r < b.
Remplacer a par b, b par r.
Répéter jusqu’à ce que le reste soit zéro.
Le dernier reste non nul est le PGCD.

Quelle différence entre PGCD et PPCM ?

Le PGCD est le plus grand diviseur commun à deux nombres. Le PPCM est le plus petit multiple commun. Le PGCD sert à simplifier les fractions, le PPCM facilite la recherche de multiples communs.

Comment calculer le PPCM à partir des facteurs premiers ?

On décompose chaque nombre en facteurs premiers et on prend la plus grande puissance de chaque facteur, même s’il n’est pas commun aux deux nombres. Ensuite, on multiplie ces puissances.

Pourquoi la méthode des soustractions successives est peu recommandée ?

Cette méthode peut être très longue pour les grands nombres. Elle est surtout utile pour des petits nombres ou si l’exercice le précise clairement.

Comment le PGCD aide-t-il à simplifier une fraction ?

On trouve le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on divise chaque terme par ce PGCD. Cela donne une fraction irréductible.