Calculer f'(x) : exercices corrigés en dérivation pour maîtriser la dérivée

Calculer f'(x) : exercices corrigés en dérivation

Le calcul de la dérivée f'(x) s’effectue grâce aux règles standards de dérivation appliquées aux fonctions polynomiales et rationnelles, ainsi qu’à l’étude du signe de f'(x) pour analyser les variations de la fonction. Ces exercices corrigés présentent des exemples classiques et variés, avec méthodes détaillées et résultats clairs.

1. Dériver des fonctions polynomiales

La dérivation des polynômes utilise la règle : \[ \frac{d}{dx} (ax^n) = a n x^{n-1} \] et la dérivée d’une constante est zéro.

Exemple :

Pour \( f(x) = 3x^3 – 7x^2 + 15x – 38 \), on calcule :

Terme	Dérivée
3x³	9x²
-7x²	-14x
15x	15
-38	0

Donc \( f'(x) = 9x^2 – 14x + 15 \).

2. Dériver des fonctions rationnelles par la règle du quotient

Soit une fonction rationnelle \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), sa dérivée s’obtient par :

\[ f'(x) = \frac{u'(x) v(x) – u(x) v'(x)}{(v(x))^2} \]

Exemple 1 :

\( f(x) = \frac{5x^2 + 14}{x} \)

\( u = 5x^2 + 14 \), \( u’ = 10x \)
\( v = x \), \( v’ = 1 \)

Calcul :

[
f'(x) = \frac{10x \cdot x – (5x^2 + 14) \cdot 1}{x^2} = \frac{10x^2 – 5x^2 – 14}{x^2} = \frac{5x^2 – 14}{x^2}
]

Exemple 2 :

\( g(x) = \frac{3x – 6}{x} \)

\( u = 3x – 6 \), \( u’ = 3 \)
\( v = x \), \( v’ = 1 \)

Calcul :

[
g'(x) = \frac{3 \cdot x – (3x – 6) \cdot 1}{x^2} = \frac{3x – 3x + 6}{x^2} = \frac{6}{x^2}
]

3. Étude du signe de la dérivée f'(x) et tableau de variations

La dérivée permet de savoir où la fonction est croissante ou décroissante. On étudie donc le signe de f'(x) en résolvant \( f'(x)=0 \) pour déterminer les points critiques.

Par exemple, pour \( f(x) = 7x^4 – 3x^3 – x \), on trouve :

[
f'(x) = 28x^3 – 9x^2 – 1
]

En identifiant les racines de \( f'(x) \), les intervalles de croissance/décroissance sont déterminés :

Intervalle	Signe de f'(x)	Variation de f
\(-5 ; \frac{3}{2}\)	+	f croît
\(\frac{3}{2} ; 5\)	–	f décroît

Cette étude conduit au tableau de variations :

Fonction croissante jusqu’à \( x = \frac{3}{2} \)
Fonction décroissante après

4. Dérivée d’une fonction affine ou constante

Pour une fonction simple comme \( f(x) = \frac{2+x}{5} \), la dérivée est constante, car le dénominateur est constant :

\( f'(x) = \frac{1}{5} \), toujours positif sur \([-1,10]\)

La fonction est strictement croissante.

5. Calculs avec valeur interdite

Pour \( f(x) = \frac{2}{x-5} \), la valeur interdite est \( x=5 \). La dérivée s’obtient avec la règle du quotient :

[
f'(x) = \frac{0 \cdot (x-5) – 2 \cdot 1}{(x-5)^2} = \frac{-2}{(x-5)^2}
]

La dérivée est toujours négative sauf en \( x=5 \) exclu. Cela signifie que la fonction décroît sur son domaine.

6. Étude et dérivée de fonctions polynomiales supérieures

Pour \( f(x) = 3x^3 – 2x^2 + 5 \), la dérivée est :

[
f'(x) = 9x^2 – 4x
]

L’étude du signe de ce trinôme permet de dresser un tableau de variations.

On calcule le discriminant \(\Delta = (-4)^2 – 4 \times 9 \times 0 = 16\), les racines sont \( x=0 \) et \( x=\frac{4}{9} \).
On détermine les intervals où \( f'(x) \) est positif ou négatif pour étudier la croissance/décroissance.

7. Résumé des étapes pour calculer f'(x) et l’utiliser

Identifier la nature de la fonction (polynomiale, rationnelle, etc.).
Appliquer la règle adaptée : dérivée simple, somme, produit, quotient…
Calculer explicitement la dérivée en simplifiant.
Étudier le signe de f'(x) pour déduire les intervalles de croissance ou décroissance.
Construire un tableau de variations.
Utiliser f'(x) pour trouver l’équation des tangentes si besoin.

Liens entre dérivée, variations et tangentes

La dérivée f'(a) en un point \( a \) donne la pente de la tangente au graphe en \( a \). Elle facilite le calcul de l’équation de la tangente :

[
y = f(a) + f'(a)(x – a)
]

Points clés à retenir

L’application des règles de dérivation est fondamentale : dérivée d’une puissance, somme, produit et quotient.
La dérivation des fonctions rationnelles nécessite la formule du quotient.
L’étude du signe de la dérivée gère la connaissance des variations de la fonction.
Valeur interdite dans le domaine influe sur la définition et l’analyse de la dérivée.
Le calcul de la pente de la tangente utilise la dérivée en un point précis.
Les exercices corrigés couvrent des exemples concrets pour renforcer la compréhension.

Calculer f'(x) Exercice Corrigé : Guide Complet et Détaillé

Calculer la dérivée d’une fonction, notée f'(x), est une étape essentielle pour comprendre comment cette fonction évolue sur son domaine. Que vous soyez en plein apprentissage ou en révision pour le bac, maîtriser cette compétence fait toute la différence. Mais comment bien s’y prendre ? Pas de panique, on vous emmène au cœur de ce sujet avec des exercices corrigés, des astuces, et des méthodes rigoureuses pour ne plus jamais douter.

Pourquoi s’intéresser à la dérivée f'(x) ?

La dérivée d’une fonction donne la pente de la tangente à la courbe en un point donné. En termes simples, elle indique si la fonction monte, descend, ou reste stable. Ce concept est fondamental pour :

construire le tableau de variations,
trouver les extremums (maximums et minimums),
étudier la monotonie (croissance ou décroissance),
trouver l’équation de la tangente en un point,
résoudre des problèmes en physique ou en économie liés aux taux de changement.

En bref, sans dérivée, point de salut pour comprendre la dynamique d’une fonction !

Les bases avant de plonger dans les exercices corrigés

Avant de se lancer, rappelons les règles basiques de dérivation :

La dérivée d’une constante est zéro : k’ = 0
La dérivée de x est 1 : (x)’ = 1
La dérivée de xⁿ est n·x^{n-1}
La dérivée de la somme est la somme des dérivées
Pour une fonction quotient : (u/v)’ = (u’v – uv’) / v²

Avec ça, même les fonctions un peu retorses deviendront accessibles !

Exercice 1 : Calcul de f'(x) pour une fonction polynomiale classique

Fonction : f(x) = 3x³ – 7x² + 15x – 38

Calculons la dérivée pas à pas :

Le terme 3x³ dérive en 9x² (car 3 × 3 = 9 et on baisse l’exposant de 1)
Le terme -7x² dérive en -14x (7 × 2 = 14)
Le terme 15x donne 15
La constante -38 a une dérivée nulle

Résultat : f'(x) = 9x² – 14x + 15

Simple, net, précis. Pas à pas, pas à pas, c’est la clé.

Exercice 2 : La dérivée d’une fonction rationnelle

Fonction : f(x) = (5x² + 14) / x

On s’appuie sur la formule du quotient :

(u/v)’ = (u’v – uv’) / v²

Posons :

u = 5x² + 14 → u’ = 10x
v = x → v’ = 1

Appliquons :

f'(x) = (10x × x – (5x² +14) × 1) / x² = (10x² – 5x² – 14) / x² = (5x² – 14) / x²

Voici une démonstration claire et efficace pour des fonctions rationnelles, où rien ne vous échappe.

Exercice 3 : Étude du signe de f'(x) et tableau de variations

Fonction : f(x) = 7x⁴ – 3x³ – x définie sur [-5; 5]

On dérive :

f'(x) = 28x³ – 9x² – 1

On cherche à étudier le signe de cette dérivée.

C’est un peu plus délicat, car il faut résoudre l’équation 28x³ – 9x² – 1 = 0.

Admettons que x=3/2 soit une racine (vous pouvez vérifier). En fonction des signes avant et après cette racine, on établit :

x	-5	…	3/2	…	5
f'(x)	+	…	0	…	–

Et voilà, vous avez un tableau montrant que f est croissante jusqu’à 3/2 et décroissante ensuite. Le plus dur est fait : avoir confiance dans votre calcul.

Exercice 4 : Dérivée d’une fonction affine avec constante au dénominateur

Fonction : f(x) = (2 + x) / 5 définie sur [-1; 10]

Puisque 5 est une constante :

u = 2 + x → u’ = 1
v = 5 → v’ = 0

Appliquons la règle du quotient :

f'(x) = (u’v – uv’) / v² = (1 × 5 – (2 + x) × 0) / 25 = 5 / 25 = 1/5

La dérivée est constante et positive sur tout l’intervalle.

Conclusion : la fonction est strictement croissante sur [-1; 10].

Exercice 5 : Étude pratique d’un trinôme dérivé

Fonction : f(x) = 3x³ – 2x² + 5 définie sur [-10; 10]

Calcul :

f'(x) = 9x² – 4x

On étudie le signe :

Factorisation possible : x(9x – 4)
Racines : x = 0 et x = 4/9

Selon les intervalles :

f'(x) > 0 → f croît
f'(x) < 0 → f décroît

Voilà comment on déduit le tableau de variations de f !

Exercice 6 : Fonction rationnelle avec valeur interdite et dérivée

Fonction : f(x) = 2 / (x – 5), définie sur [-15; 10]

Valeur interdite : résoudre x – 5 = 0 → x = 5
Dérivée : u(x) = 2 (constante), u’ = 0 v(x) = x – 5, v’ = 1 Alors :

f'(x) = (0 · (x – 5) – 2 · 1) / (x – 5)² = -2 / (x – 5)²

Comme le carré est toujours positif, et le numérateur négatif, f'(x) est toujours négative sauf en x=5 (non défini).

Conclusion : f est strictement décroissante sur chacun des intervalles de définition.

À quoi ça sert d’avoir tous ces exercices corrigés ?

Cela vous donne un plan d’action : calculer la dérivée, simplifier, étudier le signe, faire le tableau.
Vous apprenez à reconnaître quelle règle de dérivation appliquer selon le type de fonction.
Vous effectuez des démarches rigoureuses, indispensables pour les examens et les applications pratiques.
Et surtout, vous pouvez vérifier et comprendre chaque étape pour ne plus craindre les difficultés.

Comment progresser efficacement avec calculer f'(x) exercice corrigé ?

Voici quelques recommandations pratiques :

Identifiez clairement la fonction f(x) : polynôme, quotient, produit, fonction composée ?
Choisissez la règle de dérivation adaptée à la nature de la fonction
Calculez la dérivée avec soin en appliquant les formules apprises
Simplifiez l’expression obtenue pour une lecture plus aisée
Étudiez le signe de f'(x) par factorisation ou résolution d’équations
Construisez le tableau de variations en fonction du signe
Si demandé, calculez l’équation de la tangente en évaluant f'(x) en un point

Adopter cette méthode systématique vous évite de vous perdre dans les détails et vous donne confiance.

Un exemple concret : Calcul complet avec équation de tangente

Prenons la fonction f(x) = 7x⁴ – 3x³ – x (exercice 9). On a :

Calcul de f'(x) = 28x³ – 9x² – 1
On étudie le signe et obtient une racine x = 3/2
Tableau de variations : fonction croissante jusqu’à 3/2, puis décroissante
Calcul de la tangente en x = 1 :

Pour cela, on calcule :

f'(1) = 28 × 1³ – 9 × 1² – 1 = 28 – 9 – 1 = 18
f(1) = 7 × 1⁴ – 3 × 1³ – 1 = 7 – 3 – 1 = 3

L’équation de la tangente D en x=1 est :

y = f(1) + f'(1)(x – 1) = 3 + 18(x – 1) = 18x – 15

Et voilà, cela donne une vision très concrète de la dérivée et de son utilité !

En résumé, calculer f'(x) exercice corrigé en 5 points clés :

Maîtriser les règles élémentaires de dérivation
Analyser la fonction pour choisir la bonne méthode
Exécuter les calculs avec rigueur
Étudier le signe de la dérivée et ses conséquences sur la fonction originale
Utiliser f'(x) pour trouver tangentes et étudier les variations

Attention aux pièges !

Quelques astuces à garder en tête :

Pour les fonctions rationnelles, n’oubliez pas de vérifier les valeurs interdites (points où le dénominateur s’annule)
Utilisez la factorisation et le discriminant pour étudier les signes plus facilement
Ne négligez pas la simplification finale : une expression claire évite la confusion
Tracez des tableaux même pour les exercices simples : organiser vos résultats, c’est gagner en clarté

Le calcul de la dérivée f'(x), loin d’être un casse-tête, devient une aventure mathématique passionnante quand on applique la bonne méthode. Les exercices corrigés que nous avons étudiés couvrent tous les aspects essentiels, des fonctions polynomiales aux quotients complexes, en passant par l’étude du signe et le tracé de tangentes.

Calculer f'(x) exercice corrigé ne se limite pas à un exercice scolaire – c’est une porte ouverte vers la compréhension profonde du comportement des fonctions. À vous de jouer avec ces outils pour dompter les courbes et exceller en mathématiques !

FAQ & questions des visiteurs

Comment calculer la dérivée d’un polynôme comme ( f(x) = 3x^3 – 7x^2 + 15x – 38 ) ?

On dérive chaque terme séparément en utilisant la règle \( (x^n)’ = n x^{n-1} \). Par exemple, \( 3x^3 \) devient \( 9x^2 \), \( -7x^2 \) devient \( -14x \), et ainsi de suite. La dérivée finale est \( f'(x) = 9x^2 – 14x + 15 \).

Quelle méthode appliquer pour dériver une fonction rationnelle comme ( f(x) = \frac{5x^2 + 14}{x} ) ?

On utilise la règle du quotient : \((u/v)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\). Ici, \( u = 5x^2 + 14 \) et \( v = x \). On calcule \( u’ = 10x \), \( v’ = 1 \), puis on remplace dans la formule pour obtenir \( f'(x) = \frac{5x^2 – 14}{x^2} \).

Comment étudier le signe de la dérivée ( f'(x) ) pour établir le tableau des variations d’une fonction ?

Après avoir calculé \( f'(x) \), on trouve ses racines, c’est-à-dire où \( f'(x) = 0 \). On analyse le signe de \( f'(x) \) sur les intervalles déterminés par ces racines. Un signe positif indique une croissance, un signe négatif une décroissance. Cette analyse permet de dresser le tableau de variations.

Que faire lorsqu’une valeur rend la fonction non définie, comme avec ( f(x) = \frac{2}{x – 5} ) ?

Il faut d’abord identifier la valeur interdite (ici \( x=5 \)) où la fonction n’existe pas. Ensuite, on dérive \( f(x) \) en utilisant la règle du quotient. Enfin, on étudie \( f'(x) \) sur l’ensemble de définition en excluant cette valeur interdite.

Comment calculer la dérivée d’une fonction affine fractionnaire comme ( f(x) = \frac{2 + x}{5} ) ?

On considère \( u(x) = 2 + x \) et \( v(x) = 5 \) constante. La dérivée de \( u \) est 1 et celle de \( v \) est 0. Avec la formule du quotient, on obtient \( f'(x) = \frac{1 \times 5 – (2 + x) \times 0}{25} = \frac{1}{5} \).

Peut-on simplifier la dérivation de fonctions composées en utilisant des exemples corrigés ?

Oui. Les exercices montrent des applications concrètes des règles comme la somme, le produit et le quotient, permettant de dériver étape par étape et de vérifier facilement les résultats. Cela aide à bien comprendre et simplifier la dérivation des fonctions complexes.