Si vous vous êtes déjà demandé pourquoi votre chargeur de téléphone chauffe ou pourquoi une ampoule s’allume instantanément, la réponse se cache dans deux concepts fondamentaux : la résistivité et la conductivité.

La formule de la résistivité (ρ) est intrinsèquement liée à la résistance (R) d’un conducteur par la relation R = ρ * (L / S), tandis que la conductivité (σ) est tout simplement son inverse mathématique, définie par la formule σ = 1/ρ.

Ces deux notions sont les deux faces d’une même pièce, le yin et le yang du courant électrique. L’une décrit la capacité d’un matériau à freiner le passage des électrons, l’autre sa capacité à le faciliter. Comprendre leurs formules et leur relation, c’est détenir la clé pour maîtriser les bases de l’électronique et de la physique des matériaux. C’est parti pour un décryptage complet.

Résistivité et Conductivité : Le Duel Fondamental

Imaginez une autoroute. La conductivité, ce serait une belle route à six voies, parfaitement lisse, où les voitures (nos électrons) filent sans encombre. La résistivité, à l’inverse, serait la même route, mais un jour de départ en vacances, avec des bouchons, des travaux et des ralentissements à chaque kilomètre.

Voilà, en essence, la différence.

La conductivité électrique, symbolisée par la lettre grecque sigma (σ), mesure l’aptitude d’un matériau à laisser passer le courant électrique. Plus la conductivité est élevée, plus le matériau est un bon conducteur. Son unité est le siemens par mètre (S/m).

La résistivité électrique, représentée par la lettre grecque rho (ρ), est son exacte opposée. Elle quantifie la capacité d’un matériau à s’opposer, à résister au passage de ce même courant. Une résistivité élevée signifie que le matériau est un mauvais conducteur, voire un isolant. Son unité est l’ohm-mètre (Ω⋅m).

Leur relation est d’une simplicité désarmante : elles sont inverses l’une de l’autre.

• σ = 1 / ρ
• ρ = 1 / σ

C’est une danse parfaitement équilibrée. Si vous connaissez l’une, vous connaissez l’autre. Un matériau très conducteur comme le cuivre aura une conductivité très élevée et, par conséquent, une résistivité extrêmement faible. À l’inverse, un isolant comme le caoutchouc présentera une résistivité astronomique et une conductivité quasi nulle.

Au-delà du Matériau : Résistance et Conductance

Attention à ne pas tout mélanger ! La résistivité et la conductivité sont des propriétés intrinsèques d’un matériau. C’est l’ADN électrique du cuivre, de l’or ou du plastique.

La résistance (R) et la conductance (G), elles, sont les propriétés d’un objet spécifique, avec une forme et des dimensions définies (un fil, une plaque, etc.).

La résistance, mesurée en Ohms (Ω), dépend de la résistivité du matériau mais aussi de sa géométrie. C’est là qu’intervient la fameuse formule :

R = ρ * (L / S)

Où :

• R est la résistance de l’objet (en Ohms, Ω)
• ρ (rho) est la résistivité du matériau (en Ohm-mètres, Ω⋅m)
• L est la longueur de l’objet (en mètres, m)
• S (ou A pour Area en anglais) est l’aire de sa section transversale (en mètres carrés, m²)

De la même manière, la conductance (G), mesurée en Siemens (S), est l’inverse de la résistance (G = 1/R) et dépend de la conductivité et de la géométrie de l’objet : G = σ * (S / L). La conductance, c’est la facilité avec laquelle un composant spécifique laisse passer le courant, alors que la conductivité est la capacité innée du matériau qui le compose à le faire.

La Résistivité (ρ) : La Formule pour Calculer le “Frein” Électrique

Décortiquons cette formule R = ρ * (L / S) car elle est au cœur de tout. Elle nous dit des choses très logiques quand on y pense.

Plus un fil est long (L augmente), plus sa résistance (R) est grande. C’est comme un tuyau d’arrosage : plus il est long, plus il y a de frottements et moins l’eau a de pression à la sortie. Pour les électrons, c’est pareil.

Plus un fil est épais (S augmente), plus sa résistance (R) est faible. Normal, les électrons ont plus de place pour passer. C’est la différence entre une petite ruelle et un boulevard.

Et le ρ dans tout ça ? C’est le coefficient qui dit à quel point le matériau lui-même est “difficile” à traverser, indépendamment de sa forme. C’est la nature même de la route.

Calcul pratique de la résistivité

Si on retourne la formule, on peut calculer la résistivité d’un matériau si on connaît la résistance d’un fil fait de ce matériau, ainsi que ses dimensions :

ρ = R * (S / L)

C’est ainsi que les scientifiques caractérisent les nouveaux matériaux. Ils en fabriquent un échantillon de forme connue, mesurent sa résistance avec un ohmmètre, et en déduisent sa résistivité.

Un petit exemple concret ? Prenons un fil de cuivre. Sa résistivité `ρ` est d’environ 1,7 x 10⁻⁸ Ω⋅m. C’est minuscule, ce qui en fait un excellent conducteur. Si je prends un fil de 10 mètres de long (L=10) avec une section de 1,5 mm² (S = 1,5 x 10⁻⁶ m²), sa résistance sera :
R = (1,7 x 10⁻⁸) * (10 / (1,5 x 10⁻⁶)) ≈ 0,11 Ohm. C’est très faible, parfait pour transporter de l’électricité sans trop de pertes !

Maintenant, faisons le même calcul avec du nichrome, l’alliage utilisé dans les grille-pains, dont la résistivité est d’environ 1,1 x 10⁻⁶ Ω⋅m (environ 65 fois plus que le cuivre !).
R = (1,1 x 10⁻⁶) * (10 / (1,5 x 10⁻⁶)) ≈ 7,3 Ohms.
Cette résistance bien plus élevée est exactement ce qu’on recherche : le fil va chauffer énormément au passage du courant et faire griller votre pain. C’est l’effet Joule en action, directement lié à la résistance (P = R * I²).

Tableau des résistivités de quelques matériaux courants

Pour mieux visualiser, voici un tableau qui parle de lui-même.

On voit l’échelle immense qui sépare les conducteurs des isolants. Ce n’est pas une petite différence, c’est un gouffre de plusieurs dizaines de puissances de dix !

La Conductivité (σ) : L’Art de Laisser Passer le Courant

Passons maintenant à l’autre côté du miroir : la conductivité σ. Comme on l’a dit, sa formule la plus simple est σ = 1/ρ. Son unité, le siemens par mètre (S/m), est aussi l’inverse de l’ohm-mètre.

La conductivité est particulièrement utile quand on parle de solutions, comme en chimie ou en biologie. Alors que la résistivité est reine pour les solides (fils, métaux), la conductivité est la star des liquides.

La conductivité dans les solutions : La Loi de Kohlrausch

Dans une solution, le courant n’est pas transporté par des électrons libres comme dans un métal, mais par des ions (des atomes chargés positivement ou négativement).

La conductivité d’une solution dépend de plusieurs facteurs :

• La nature des ions présents.
• Leur concentration.
• Leur mobilité (leur agilité à se déplacer dans le liquide).
• La température.

La loi de Kohlrausch nous dit que la conductivité σ d’une solution diluée est proportionnelle à sa concentration en ions. Plus précisément, chaque type d’ion contribue à la conductivité totale.

La formule s’écrit : σ = Σ (λ_i * [X_i])

Où :

• σ est la conductivité de la solution (en S/m).
• λ_i (lambda) est la conductivité molaire ionique de l’ion ‘i’ (une constante propre à chaque ion).
• [X_i] est la concentration de l’ion ‘i’ (en mol/m³).

En clair, on additionne la contribution de chaque type d’ion. Par exemple, pour une solution de sel de table (chlorure de sodium, NaCl), qui se dissocie en ions Na⁺ et Cl⁻ :
σ = λ_Na⁺ * [Na⁺] + λ_Cl⁻ * [Cl⁻]

C’est pour cette raison que l’eau pure est un très mauvais conducteur, mais que l’eau salée conduit bien l’électricité : elle est pleine d’ions qui se chargent de transporter le courant.

Comment mesure-t-on la conductivité ?

On ne peut pas simplement poser les pointes d’un multimètre dans un liquide. On utilise un appareil appelé conductimètre. Il est composé de deux plaques métalliques de surface connue (S), séparées par une distance fixe (L). L’appareil mesure la conductance (G) de la solution entre ces plaques.

Comme on a la relation G = σ * (S / L), et que S et L sont des constantes de l’appareil (on appelle le rapport L/S la “constante de cellule”, notée k), on peut en déduire la conductivité :

σ = G * (L / S) = G * k

C’est une technique extrêmement utilisée dans l’industrie pour vérifier la pureté de l’eau, en agronomie pour mesurer la salinité des sols, ou en médecine.

Des Formules à la Réalité : Où se Cachent-Elles au Quotidien ?

Ces équations ne sont pas que des lignes sur un tableau noir. Elles régissent le fonctionnement de presque tout ce qui nous entoure.

1. Votre smartphone : Les pistes microscopiques en cuivre ou en or sur le circuit imprimé sont conçues pour avoir la plus faible résistance possible (`R = ρ * L/S`, avec un `ρ` très bas) pour ne pas perdre d’énergie.
2. Votre chauffage électrique : Il utilise un fil avec une résistivité élevée. Le courant force le passage, ce qui dissipe de l’énergie sous forme de chaleur (effet Joule). La formule de la résistivité est au cœur de sa conception.
3. Les lignes à haute tension : Elles sont en aluminium (parfois avec une âme en acier pour la solidité). L’aluminium a une résistivité un peu plus haute que le cuivre, mais il est beaucoup plus léger et moins cher. Pour compenser, on utilise des câbles de très grosse section (S est grand) pour minimiser la résistance `R` et donc les pertes d’énergie sur des centaines de kilomètres.
4. Les fusibles : Un fusible est un petit fil conçu avec une résistivité et une section précises pour qu’il fonde (et coupe le circuit) si le courant dépasse une certaine valeur, protégeant ainsi vos appareils.

Même en géophysique, ces concepts sont cruciaux. L’Agence de Protection de l’Environnement (EPA) américaine, par exemple, mesure la résistivité des sols. Pourquoi ? Parce que sa valeur est influencée par la teneur en eau, la présence de métaux (polluants), d’argile ou d’hydrocarbures. En “sondant” électriquement le sol, on peut cartographier la pollution sans avoir à creuser partout. La formule `ρ = R * (S / L)` est alors appliquée à une échelle bien plus grande !

Ainsi, maîtriser les formules de la résistivité et de la conductivité, c’est comprendre la bataille permanente au cœur de la matière entre les forces qui veulent laisser passer les électrons et celles qui les en empêchent. De l’infiniment petit des circuits intégrés à l’infiniment grand des lignes électriques, cette dualité est la musique qui fait fonctionner notre monde technologique. La prochaine fois que vous allumerez une lumière, vous saurez que vous êtes le chef d’orchestre d’un ballet d’électrons, guidé par ces lois physiques immuables.