Calculateur de Probabilités pour Dés

Le souffle coupé, les yeux rivés sur ces deux petits cubes en plastique qui tournoient. Vont-ils me donner la victoire ou sceller ma défaite ? Cette tension, je la connais par cœur. Mais derrière le hasard apparent se cache une logique implacable, une danse mathématique fascinante. La question qui vous brûle les lèvres est simple : combien de combinaisons sont réellement possibles avec deux dés ?

Avec deux dés à six faces, il existe 36 combinaisons possibles.

Voilà. C’est dit. Mais ce chiffre, 36, n’est que la porte d’entrée d’un univers bien plus vaste et intéressant. Laissez-moi vous guider dans les coulisses du hasard pour que, la prochaine fois, vous ne soyez plus simple spectateur, mais un joueur averti.

Pourquoi 36 ? La magie (mathématique) derrière le lancer

Ce n’est pas de la sorcellerie, juste une règle fondamentale des probabilités : le principe de multiplication. Chaque dé est un événement indépendant. Le résultat du premier n’influence absolument pas celui du second (à moins que vous n’ayez des dés magnétiques, mais c’est une autre histoire).

Imaginez le premier dé. Il a six chemins possibles : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Maintenant, pour chacun de ces chemins, le second dé a lui aussi ses six propres possibilités.

Si le premier dé tombe sur 1, le second peut tomber sur 1, 2, 3, 4, 5, ou 6. Ça fait 6 paires.
Si le premier dé tombe sur 2, le second peut aussi tomber sur 1, 2, 3, 4, 5, ou 6. Encore 6 paires.
Et ainsi de suite…

Le calcul est donc d’une simplicité désarmante : 6 issues pour le premier dé × 6 issues pour le second dé = 36 issues totales. On parle ici de p-uplets, ou plus simplement de paires ordonnées. La paire (1, 5) est différente de la paire (5, 1). Pour visualiser, rien de mieux qu’un tableau :

Chaque cellule de ce tableau représente une combinaison unique et équiprobable. La probabilité de chaque lancer spécifique est donc de 1/36.

Au-delà des combinaisons : Parlons probabilités !

Connaître le nombre total d’issues, c’est bien. Savoir s’en servir pour calculer ses chances, c’est mieux. La formule magique est toujours la même :
P(événement) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles

Prenons des exemples concrets qui animent nos soirées jeux.

Obtenir un double

Le fameux double qui vous envoie en prison au Monopoly ou vous donne un bonus dans d’autres jeux. Les cas favorables sont : (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) et (6,6).
Il y a 6 cas favorables sur 36 possibles.
La probabilité est donc de 6/36, ce qui se simplifie en 1/6. C’est logique : peu importe le résultat du premier dé, le second a une chance sur six de l’égaler.

Obtenir une somme de 7

C’est le résultat le plus probable lorsque vous lancez deux dés, et c’est la star du Craps. Pourquoi ? Regardons les combinaisons possibles :

• 1 + 6
• 2 + 5
• 3 + 4
• 4 + 3
• 5 + 2
• 6 + 1

Cela nous fait 6 cas favorables ! La probabilité d’obtenir 7 est donc également de 6/36, soit 1/6. Aucune autre somme n’offre autant de combinaisons.

Savoir que 7 est le résultat le plus probable vous donne un avantage psychologique et stratégique. Vous ne regarderez plus jamais un lancer de la même manière.

À l’inverse, obtenir une somme de 2 (seulement avec 1+1) ou de 12 (seulement avec 6+6) est beaucoup plus rare, avec une probabilité de seulement 1/36 pour chacune.

Et si on ajoutait un troisième dé ? L’escalade du chaos

Si vous aimez les défis, ajoutons un dé à l’équation. Le principe reste le même. On multiplie simplement les possibilités.
6 (dé 1) × 6 (dé 2) × 6 (dé 3) = 216 combinaisons possibles.

C’est ici que des jeux comme le 421 prennent tout leur sens. Obtenir la combinaison “4-2-1” dès le premier lancer semble difficile. Calculons.
Les chiffres peuvent sortir dans n’importe quel ordre : 421, 412, 241, 214, 142, 124. Il y a 6 arrangements possibles pour cette combinaison.
La probabilité d’un arrangement spécifique (par exemple, obtenir 4 sur le premier dé, 2 sur le second et 1 sur le troisième) est de (1/6) × (1/6) × (1/6) = 1/216.
Comme il y a 6 arrangements qui nous conviennent, la probabilité totale est de 6 × (1/216) = 6/216 = 1/36. Une chance sur trente-six. Pas si mal, finalement !

L’espérance mathématique : Votre boussole dans l’incertitude

Je vais vous confier un secret d’initié : l’espérance mathématique. C’est la valeur moyenne que vous pouvez espérer obtenir sur un grand nombre de lancers. Pour un seul dé, le calcul est :
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21 / 6 = 3,5.

Évidemment, vous ne pouvez pas obtenir 3,5. Mais cette valeur théorique est incroyablement utile. Pour deux dés, l’espérance est tout simplement la somme des espérances individuelles :
3,5 + 3,5 = 7.

Et voilà ! La boucle est bouclée. Les mathématiques confirment que la valeur moyenne attendue d’un lancer de deux dés est 7, ce qui explique pourquoi c’est la somme la plus fréquente. C’est votre point de repère dans l’océan du hasard.

Petites histoires et grandes tricheries : Le côté obscur du dé

Les dés n’ont pas attendu les mathématiciens pour exister. Leurs ancêtres, les astragales (des osselets de mouton), étaient utilisés pour la divination bien avant que les Mésopotamiens ne les rendent cubiques. On jouait son destin, sa fortune ou sa liberté sur un lancer.

Cette longue histoire est aussi parsemée de tricheries. Je ne vous encourage à rien, mais il est fascinant de savoir comment un dé “pipé” fonctionne. La méthode la plus connue consiste à altérer légèrement le centre de gravité. Par exemple, en chauffant un dé au four sur une face (disons, le 1), le plastique se tasse très légèrement. En le refroidissant vite, ce côté devient plus lourd, et la face opposée (le 6) aura donc plus de chances de sortir.

Heureusement, dans nos jeux de société, nous partons du principe que les dés sont équilibrés, que chaque face a une probabilité de 1/6 de se montrer. C’est ce qu’on appelle l’équiprobabilité, la base de tous nos calculs.

Alors, la prochaine fois que vous tiendrez ces dés dans le creux de votre main, souvenez-vous. Vous ne tenez pas seulement deux objets en plastique. Vous tenez 36 destins possibles, un univers de probabilités et une pincée d’histoire. Comprendre les règles cachées du jeu ne garantit pas la victoire, mais cela rend chaque lancer infiniment plus savoureux. Faites vos jeux