Les dérivées, je me souviens encore de ce fameux `f'(x)` qui a débarqué sans crier gare dans mes cours de maths, l’air de rien. Une apostrophe qui change tout, et qui, soyons honnêtes, sème un peu la panique au début. Pourtant, une fois qu’on a compris le truc, c’est un outil d’une puissance incroyable. Alors, comment on s’y prend ?

Calculer la dérivée d’une fonction consiste à trouver son taux de variation instantané, ce qui se fait en appliquant des formules de dérivation spécifiques aux fonctions usuelles (comme les puissances de x, sinus, cosinus, etc.) et des règles d’opération pour gérer les sommes, produits ou quotients de ces fonctions.

C’est tout. Vraiment. Le secret n’est pas dans un calcul alambiqué à la main avec des limites (même si c’est la définition formelle), mais dans la maîtrise d’un jeu de construction : connaître ses briques de base (les formules) et savoir comment les assembler (les règles d’opération).

Pourquoi calculer une dérivée, au juste ?

Avant de sortir la boîte à outils, demandons-nous à quoi ça sert. C’est bien beau de trouver `f'(x)`, mais si on ne sait pas ce que ça représente…

Imaginez que vous conduisez une voiture. La fonction `f(x)` pourrait décrire la distance que vous avez parcourue en fonction du temps `x`. Sa dérivée, `f'(x)`, serait alors votre vitesse à chaque instant. C’est le taux de changement de votre position. Et si on dérive encore ? On obtient l’accélération, la dérivée de la vitesse.

Concrètement, la dérivée `f'(a)` nous donne le **coefficient directeur de la tangente** à la courbe de la fonction au point d’abscisse `a`. C’est une mesure de la “pente” de la courbe à un endroit très précis.
Grâce à ça, on peut :

• Étudier les variations d’une fonction : si la dérivée est positive, la fonction monte. Si elle est négative, elle descend. Si elle est nulle, on a un sommet ou un creux (un extremum).
• Résoudre des problèmes d’optimisation : trouver le profit maximal, la surface minimale, etc.
• Déterminer l’équation de la tangente à une courbe, qui est `y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀)`.

La dérivée, c’est le stéthoscope du mathématicien pour écouter le cœur d’une fonction et comprendre son comportement.

Les briques de base : les formules de dérivation à connaître

Toute la magie de la dérivation repose sur un ensemble de formules pour les fonctions “usuelles”. C’est un peu comme apprendre ses tables de multiplication. Une fois que c’est dans la tête, tout devient plus simple.

Voici un tableau récapitulatif des incontournables.

Avec ça, vous avez déjà de quoi dériver un très grand nombre de fonctions simples.

Assembler les briques : les règles d’opération

Les fonctions intéressantes sont souvent des mélanges de ces briques de base. C’est là qu’interviennent les règles de dérivation pour les opérations. Prenons deux fonctions `u(x)` et `v(x)`.

La somme et la différence : la promenade de santé

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées : (u + v)’ = u’ + v’.

C’est la règle la plus simple. Si f(x) = x³ + 6x, on dérive chaque morceau séparément. La dérivée de x³ est 3x². La dérivée de 6x est 6. Donc, f'(x) = 3x² + 6. C’est tout !

Le produit : attention, petit piège

Ici, beaucoup tombent dans le panneau. La dérivée d’un produit n’est PAS le produit des dérivées.

La formule est : (u * v)’ = u’v + uv’.

On dérive le premier, on le multiplie par le second (sans le toucher). Puis on ajoute le premier (sans le toucher) multiplié par la dérivée du second. C’est un peu comme une danse en couple.

Exemple : f(x) = x² * sin(x).

• u(x) = x², donc u'(x) = 2x
• v(x) = sin(x), donc v'(x) = cos(x)

On applique la formule : f'(x) = (2x * sin(x)) + (x² * cos(x)). Et voilà. On peut factoriser si on veut simplifier la dérivée, mais le plus dur est fait.

Le quotient : la bête noire des étudiants

Cette formule a tendance à effrayer, mais avec de la méthode, elle passe toute seule.

La formule est : (u / v)’ = (u’v – uv’) / v².

Ça ressemble à la formule du produit, mais avec un “moins” et une division par le dénominateur au carré. Le `v²` en bas est facile à retenir. Pour le numérateur, souvenez-vous qu’on commence toujours par dériver celui d’en haut (`u’`).

Exemple : f(x) = (3x² + 2) / (x – 1).

1. u(x) = 3x² + 2, donc u'(x) = 6x.
2. v(x) = x – 1, donc v'(x) = 1.
3. On applique : f'(x) = [ (6x)(x-1) – (3x²+2)(1) ] / (x-1)².
4. Il ne reste plus qu’à simplifier le numérateur : 6x² – 6x – 3x² – 2 = 3x² – 6x – 2.
5. Le résultat final est : f'(x) = (3x² – 6x – 2) / (x-1)².

La clé est d’être méthodique et de ne pas se précipiter.

La composition de fonctions : le niveau expert

Parfois, on a une fonction à l’intérieur d’une autre, comme `ln(3x+1)` ou `e^(2x)`. On note ça `f(u(x))`. La règle, dite “règle de la chaîne”, est :

(f(u))’ = u’ * f'(u)

En français : on dérive la fonction “intérieure” `u`, et on la multiplie par la dérivée de la fonction “extérieure” `f` en gardant `u` à l’intérieur.

• Pour g(x) = ln(3x+1) : u = 3x+1, donc u’ = 3. La dérivée de ln(u) est u’/u. Donc g'(x) = 3 / (3x+1).
• Pour h(x) = e^(2x) : u = 2x, donc u’ = 2. La dérivée de eᵘ est u’ * eᵘ. Donc h'(x) = 2e^(2x).
• Pour k(x) = (2x² – 5)³ : u = 2x² – 5, donc u’ = 4x. C’est de la forme u³. La dérivée de u³ est 3u². Donc k'(x) = u’ * 3u² = 4x * 3(2x²-5)² = 12x(2x²-5)².

Une fois qu’on a le déclic sur cette règle, plus rien ne nous arrête.

Et la dérivée seconde ?

La dérivée seconde, notée `f”(x)`, n’est rien de plus que la dérivée de la dérivée. On prend `f'(x)` et on recommence l’opération.
Par exemple, si `f(x) = x³ + 2x²`, alors :

• `f'(x) = 3x² + 4x`
• `f”(x) = 6x + 4`

À quoi sert-elle ? Elle nous renseigne sur la **convexité** de la fonction. Si `f”(x)` est positive, la courbe est “creuse” (comme un bol, elle sourit). Si elle est négative, la courbe est “bombée” (comme une colline, elle fait la tête). Le point où elle change de signe est un point d’inflexion.

En conclusion, calculer une dérivée n’est pas une science occulte. C’est une compétence qui se construit. Mémorisez les formules de base comme des recettes de cuisine. Entraînez-vous à appliquer les règles d’opération comme un artisan qui assemble des pièces. Commencez par des fonctions simples, puis augmentez progressivement la difficulté. Vous verrez que très vite, le `f'(x)` ne vous fera plus peur du tout. Au contraire, il deviendra votre meilleur allié pour analyser et comprendre le monde fascinant des fonctions.