Calculatrice de Dénombrement - Combinatoire & Probabilités
Calculatrice de dénombrement gratuite pour résoudre vos problèmes de combinatoire. Calculs automatiques : permutations, arrangements, combinaisons, p-uplets.
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En mathématiques, le dénombrement est la détermination du nombre d’éléments d’un ensemble. Il s’obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal à l’aide de techniques combinatoires.
Perception immédiate
Face à une collection d’au plus quatre objets, l’être humain, avant même l’acquisition du langage, et certains animaux semblent avoir une notion immédiate de la quantité présentée sans énumération. Ce phénomène est appelé Subitizing (en).
Il peut être étendu au-delà de quatre dans certaines configurations, comme les points sur les faces d’un dé. Les nombres figurés peuvent être ainsi plus facilement repérables.
Symbolisation par une même quantité
Les premières évaluations de quantités n’ont pas nécessairement été exprimées à l’aide d’un nombre ou d’une notation chiffrée. Or, de telles évaluations ont pu être utiles pour suivre l’évolution d’un troupeau, d’une production manufacturée, des récoltes ou d’une population humaine, notamment dans les corps d’armée. En l’absence de système de numération, il est possible de représenter chaque élément d’une collection, par exemple, à l’aide d’une encoche sur un morceau de bois ou un os. Un autre exemple est visible dans le film Ivan le Terrible de Sergueï Eisenstein, où avant un combat, les soldats jettent chacun à leur tour une pièce dans un sac.
Comptage
L’évaluation d’une quantité d’objets à l’aide d’un terme particulier nécessite l’établissement d’une liste de termes qui puisse être apprise et transmise. Certains peuples océaniens parcourent ainsi une vingtaine de parties du corps selon un ordre fixe (mais dépendant de la localisation du peuple). Chaque langue a développé un système de désignation des premiers nombres entiers, éventuellement lié à un système de numération particulier.
Le dénombrement consiste alors à parcourir simultanément la chaine numérique et la collection d’objets de façon que chaque objet ne soit considéré qu’une seule fois. La compréhension de cette technique de dénombrement est décomposée en cinq principes:
- principe d’adéquation unique : chaque mot n’est associé qu’à un et un seul élément de la collection ;
- principe d’ordre stable : les mots-nombres sont toujours récités dans le même ordre ;
- principe du cardinal : pour désigner la taille d’une collection, il suffit d’énoncer le dernier mot-nombre utilisé ;
- principe d’abstraction : les objets peuvent être de natures différentes ;
- principe de non pertinence de l’ordre : les objets peuvent être parcourus dans n’importe quel ordre.
Calcul
Pour des grandes quantités ou pour des ensembles abstraits et en particulier pour des ensembles mathématiques, le dénombrement se fait à l’aide d’opérations arithmétiques ou de considérations combinatoires.
Propriétés fondamentales
- Principe des tiroirs : si l’on dispose de m ensemble(s) et que l’on y range n objet(s) avec n > m, alors au moins un de ces ensembles contiendra plusieurs objets.
Exemple : dans une classe de 20 élèves, si tous sont nés la même année, alors plusieurs d’entre eux sont forcément nés le même mois. - Cardinal d’un produit cartésien : si un arbre comporte n branche(s) et que celle(s)-ci comporte(nt) chacune p sous-branche(s), alors cet arbre comporte n × p sous-branche(s).
Exemple en probabilités élémentaires : supposons qu’on tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Si l’on tente d’en deviner la couleur (trèfle, carreau, cœur ou pique), on a 1 chance sur 4 de tomber juste. Par ailleurs, si l’on tente d’en deviner la valeur (as, roi, dame, valet, etc.), on a 1 chance sur 13 de tomber juste. Enfin, si l’on tente d’en deviner la couleur et la valeur, on a une chance sur 52 (4 × 13) de tomber juste.
Théorèmes fondamentaux
Dans cette section, si A est un ensemble fini, on note card(A) le nombre de ses éléments. Par exemple, card({e,f,g})=3.
Théorème 1
Soit A une partie d’un ensemble fini E.
Alors A est elle-même finie et card(A) ≤ card(E).
Si en outre card(A)=card(E), alors A=E.
Caractérisation des applications injectives
Soit E un ensemble fini, F un ensemble et f une application de E dans F.
On a :
card(f(E)) ≤ card(E)
f est injective ⇔ card(f(E))=card(E)
Démonstration
Pour démontrer le point 1, on peut s’intéresser à l’ensemble des éléments de E qui ont une image par f. Si on le note A, alors l’application induite par f de A dans f(E) est une bijection. Comme A est un sous-ensemble de E, il est fini et card(f(E))=card(A) ≤ card(E).
Le point 2 vient du fait que lorsque f est injective, tous les éléments de f(E) ont un antécédent unique, donc l’application induite de E dans f(E) est une bijection. Donc card(f(E))=card(E). Réciproquement si card(f(E))=card(E), alors card(A)=card(E) puis il vient que A=E.
Corollaire
Soit f une application injective d’un ensemble E dans un ensemble F.
Si f(E) est fini, alors E est fini et card(E)=card(f(E)).
Ce corollaire n’est en fait que l’application de la caractérisation des applications injectives dans le cas particulier où l’ensemble d’arrivée de f est f(E).
Théorème
Soit E et F deux ensembles finis tels que card(E)=card(F). Si f est une application de E dans F on a :
f est injective ⇔ f est surjective ⇔ f est bijective.
Propriétés
Cardinal de l’union de deux ensembles finis disjoints
Soient E et F deux ensembles finis disjoints avec card(E)=k et card(F)=n.
Alors on a card(E∪F)=card(E)+card(F)=n+k.
Démonstration
En effet soient f une bijection de E dans [[1,k]] et g une bijection de F dans [[1+k,n+k]], alors on peut construire h l’application de E∪F dans [[1,n+k]] dont la restriction à E est f et celle à F est g. Comme h est une bijection, c’est une injection et le corollaire de caractérisation conclut que card(h(E∪F))=card([[1,n+k]])=n+k.
Par récurrence, on généralise cette propriété à une famille d’ensembles finis disjoints deux à deux :
Cardinal de l’union de n ensembles finis deux à deux disjoints
Soit (Ei)i=1n une famille de n ensembles finis deux à deux disjoints.
Alors on a card(∪i=1nEi)=∑i=1n(card(Ei)).
Cardinal du complémentaire
Soit E un ensemble fini, A⊂E, et Ā son complémentaire dans E.
Alors on a card(A)+card(Ā)=card(E).
Démonstration
Démonstration : A et Ā sont deux ensembles finis d’intersection vide et A∪Ā=E. La première propriété permet de conclure.
Cardinal de l’union de deux ensembles finis
Soient E et F deux ensembles finis.
Alors on a card(E∪F)=card(E)+card(F)-card(E∩F).
Démonstration
Démonstration : Comme A∩B et A-B sont complémentaires dans A, la propriété précédente s’applique et on a card(A∩B) + card(A-B)=card(A). Ce même raisonnement s’applique pour B-A et A∩B. Remarquons enfin que A-B, A∩B et B-A forment une partition de A∪B. L’identité se déduit des trois résultats précédents.
Cardinal de la réunion disjointe de deux ensembles finis
Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs n et k.
Alors E⊔F est finie de cardinal card(E⊔F)=card(E)+card(F)=n+k.
Ce résultat peut se généraliser à plus de deux ensembles.
Cardinal de la réunion disjointe de n ensembles finis
Soit Ei une famille d’ensembles finis.
card(E1⊔E2⊔E3…⊔En)=∑i=1ncard(Ei).
Cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis
Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectif n et k.
Alors E×F est fini de cardinal card(E×F)=card(E)×card(F)=nk.
Plus généralement, pour une suite d’ensembles finis :
Cardinal du produit cartésien d’une suite d’ensembles finis
Soit Ei une famille d’ensembles finis.
card(E1×E2×E3…×En)=∏i=1ncard(Ei).
Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini
Soit E un ensemble fini de cardinal k.
Comme P(E) est en correspondance biunivoque avec l’ensemble des applications de E dans {0,1}, alors P(E) est un ensemble fini et on a card(P(E))=2card(E)=2k.
Cardinal de l’ensemble des correspondances de E dans F
Soient E et F deux ensembles finis.
L’ensemble des correspondances de E dans F, noté habituellement Corr(E,F), s’identifie à P(E×F) donc est fini de cardinal card(Corr(E,F))=2card(E)×card(F)=2nk.
Cardinal de l’ensemble des applications de E dans F
Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs k et n.
L’ensemble des applications de E dans F, souvent noté F(E,F), est fini de cardinal card(F(E,F))=card(F)card(E)=nk avec la convention 00=1 si E et F sont tous deux vides. Cette propriété justifie la notation plus courante FE.
Cardinal de l’ensemble des surjections de E dans F
Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs k et n.
L’ensemble des surjections de E dans F, noté habituellement Surj(E,F), a pour cardinal la somme suivante:
card(Surj(E,F))=∑i=0n(-1)i(n!)/(i!(n-i)!)(n-i)k.
Cette somme est nulle si card(E)<card(F).
FAQ
Qu'est-ce que le dénombrement en mathématiques ?
Le dénombrement est la branche des mathématiques qui s’occupe de déterminer le nombre d’éléments d’un ensemble, c’est-à-dire son cardinal. Cela peut se faire soit par un comptage direct des éléments, soit par un calcul utilisant des techniques de combinatoire pour des ensembles plus grands ou abstraits.
Quelles sont les différentes approches pour déterminer une quantité ?
Il existe plusieurs méthodes, allant de la perception innée au calcul mathématique :
La perception immédiate (Subitizing) : C’est la capacité de l’être humain à reconnaître instantanément une petite quantité d’objets (généralement jusqu’à quatre) sans avoir besoin de les compter un par un.
La symbolisation : Il s’agit d’une méthode ancienne qui consiste à représenter chaque élément d’une collection par un symbole unique, comme une encoche sur un os ou un caillou dans un sac, pour en suivre la quantité sans utiliser de système de numération.
Le comptage : C’est la méthode la plus courante qui consiste à associer chaque objet d’une collection à un mot-nombre (un, deux, trois…) récité dans un ordre stable. Le dernier mot-nombre prononcé donne le total.
Le calcul : Pour les grandes quantités ou les ensembles abstraits, on utilise des opérations arithmétiques et des formules de combinatoire, comme le principe du produit cartésien ou les formules d’union d’ensembles.
Comment calcule-t-on le nombre d'éléments de l'union de deux ensembles finis ?
Pour calculer le cardinal de l’union de deux ensembles finis, notés et , on utilise la formule suivante, aussi connue sous le nom de principe d’inclusion-exclusion :
Cette formule consiste à additionner le nombre d’éléments de chaque ensemble, puis à soustraire le nombre d’éléments qu’ils ont en commun (leur intersection, notée ) afin d’éviter de les compter deux fois.